MATEMÁTICAS I y II

Introducción

Las Matemáticas ocupan un lugar importante en la historia del pensamiento y de la cultura. Han estado presentes tradicionalmente en todos los planes de estudio y por su utilidad en los distintos campos de la vida moderna, parece evidente que la persona que aspire a un cierto nivel cultural, o simplemente a participar en la actual actividad humana, no puede prescindir de ellas, aunque sí pueda en muchas ocasiones prescindir de su manejo técnico. Es idea corriente suponer que esta práctica operacional es lo que se pretende en la enseñanza de la asignatura, sin embargo, para obtener el mayor provecho posible de esta práctica, es necesario establecer un fundamento teórico. Junto a estos dos aspectos de las matemáticas, instrumental y teórico, hay que destacar su papel formativo, pues por su forma de hacer, proporciona una disciplina mental para el trabajo y contribuye a desarrollar y cultivar las facultades del intelecto.

Este triple papel de las matemáticas no es nuevo para los alumnos que comienzan el Bachillerato. En la Educación Secundaria Obligatoria ya han sido iniciados en varios campos del conocimiento matemático, primando el aspecto operacional sobre el teórico. Estos conocimientos son los que han de constituir el punto de partida para las enseñanzas matemáticas de esta etapa. Es en ella cuando se comienza a dar respaldo teórico a los conocimientos matemáticos. Se deben introducir las definiciones, los teoremas, las demostraciones y la realización de encadenamientos lógicos, pero debe hacerse de una forma suave y graduada. Empezar en primer curso con razonamientos fáciles, para llegar en segundo a demostraciones con alguna complejidad.

Las Matemáticas de Bachillerato, tanto en la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud como en la modalidad de Tecnología, están en intensa relación con las disciplinas científicas. De una parte, son la herramienta imprescindible para su estudio y comprensión y, de otra parte, muchos de los conceptos matemáticos tienen su origen en problemas relativos a fenómenos físicos y naturales. Se debe potenciar esta relación y evitar que las Matemáticas aparezcan, a los ojos del alumno, como un conjunto de destrezas de cálculo sin motivación ni conexión con el mundo real.

Al presentar los conocimientos teóricos, las Matemáticas aparecen frecuentemente como algo acabado, como un perfecto y hermoso entramado lógico-deductivo, lo que probablemente conducirá al alumno a mirarlas como algo rígido, con caminos marcados que obligatoriamente hay que seguir. Las definiciones, los teoremas, las demostraciones y los razonamientos que aparecen en los libros, no son sino el fruto de muchas horas de trabajo hechas por muchas personas que empezarían seguramente con intuiciones, con la observación de analogías en cosas sensiblemente distintas, con la necesidad de resolver un problema concreto o de explicar un hecho. Transmitir esto servirá para aproximar a los alumnos a la realidad de la materia. Una buena ocasión para ello es el planteamiento y resolución de problemas. Se propondrán de una manera abierta, a la que habrá que ir añadiendo condiciones y sobre la que habrá que desarrollar argumentos de diversos tipos hasta llegar a una solución. Después de haberla encontrado se podrá reconstruir todo el proceso, prescindir de intuiciones, tanteos, hipótesis y aproximaciones, y reconstruir el razonamiento ahora ya al estilo en que aparecen los teoremas en los libros. Esta forma de trabajar hará ver al alumno cómo son en realidad las Matemáticas: algo vivo y en constante evolución.

En el aspecto instrumental, se trata de proporcionar a los alumnos técnicas, procedimientos y estrategias básicas, tanto para esta asignatura como para poder aplicarlas a otras disciplinas o a la actividad profesional. No se trata de introducir muchas herramientas, sino de que aprendan a manejar las básicas con soltura y oportunamente; que conozcan su fundamento teórico para saber en qué momento usarlas y para discernir cuál es la más adecuada al problema que se trate de resolver.

Una de las características más significativas de nuestro tiempo es el pujante desarrollo tecnológico que se refleja, fundamentalmente, en el uso generalizado de las tecnologías de la información y la comunicación. En un futuro inmediato, el acceso a la información, por parte de cualquier ciudadano y en cualquier lugar del mundo, estará supeditado a su capacidad para manejar los recursos tecnológicos, sobre todo los de tipo informático. La propuesta curricular que se realiza ofrece, en sus diversos campos (aritmética, álgebra lineal, geometría, análisis de funciones y estadística), la posibilidad de utilizar los distintos recursos tecnológicos (calculadora, programas informáticos, Internet,…).

Del buen hacer, tanto en el aspecto teórico como en el práctico, va a depender que las Matemáticas cumplan su papel formativo. Las capacidades de análisis y síntesis, de abstracción y concreción, de generalización y particularización, de formulación de conjeturas y su comprobación, de crítica, de rigor y de formalización, presentes en el hacer normal de la asignatura, deben llegarle al alumno de forma natural, y contribuir así a mejorar su intelecto y a adquirir unos hábitos y actitudes que trascienden del ámbito de las propias Matemáticas. Además, las Matemáticas facilitan la disciplina en y para el trabajo.

En cuanto a metodología didáctica, tal vez lo más adecuado sea decir que no hay un método mejor que otro. El objetivo final es conseguir que los alumnos de Bachillerato, en la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y en la modalidad de Tecnología, manejen con cierta soltura el lenguaje formal (que en estudios posteriores van a encontrar prácticamente en todas las disciplinas), comprendan los métodos propios de las matemáticas y adquieran algunos conceptos matemáticos fundamentales. Para ello, como en todo proceso educativo, hay que partir de lo conocido y volver a formularlo si es preciso para dar más claridad y mayor alcance a lo que el alumno ya sabe; graduar el orden de dificultad en los razonamientos, sencillos al principio y con cuanta ayuda sea necesaria, y aumentar su complejidad paulatinamente; insistir en las ideas básicas, enfocarlas desde puntos de vista y desde niveles diferentes; practicar con ellas a través de ejercicios y problemas, que, a la vez que contribuyen a asentarlas, proporcionan soltura en los métodos de trabajo.

Objetivos

1. Comprender los conceptos y usar los procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

2. Conocer el desarrollo histórico de las Matemáticas y su relación con la historia del pensamiento y de la cultura.

3. Utilizar las matemáticas y sus métodos como herramienta para analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, y para formarse una opinión que les permita expresarse críticamente y con rigor sobre problemas actuales.

4. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos.

5. Adquirir, desarrollar y utilizar un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos que les permita expresarse correctamente de forma oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

6. Adquirir, desarrollar y mostrar actitudes propias de la actividad matemática, como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos, detectar incorrecciones lógicas y analizar y criticar los resultados.

8. Utilizar de forma racional los medios tecnológicos disponibles, y descubrir las posibilidades que ofrecen.

9. Aprovechar los cauces de información facilitados por las tecnologías de la información y la comunicación, y seleccionar aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.

10. Desarrollar métodos que contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos, para investigar y resolver situaciones problemáticas nuevas.

11. Desarrollar el gusto por la belleza presente en teorías, demostraciones, formas y figuras matemáticas, y apreciar la relación entre las matemáticas y las artes.

Matemáticas I

Contenidos

I. Aritmética y Álgebra

Números reales. La recta real. Relación de orden. Intervalos. Distancia. Valor absoluto.

Resolución algebraica e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita. Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.

Resolución algebraica e interpretación gráfica de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales en dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales en tres o mas incógnitas: resolución de sistemas triangulares y método de Gauss.

Sucesiones numéricas. Idea intuitiva de límite. El número e.

Funciones exponenciales. Resolución de ecuaciones y sistemas sencillos de ecuaciones exponenciales en dos incógnitas.

Funciones logarítmicas. Resolución de ecuaciones logarítmicas.

II. Geometría

Ampliación del concepto de ángulo. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Relaciones entre ellas. Funciones trigonométricas. Resolución de ecuaciones trigonométricas.

Resolución de triángulos rectángulos. Teorema del seno. Teorema del coseno. Resolución de triángulos.

Números complejos. Formas binómica, trigonométrica y polar. Operaciones elementales.

Vectores en el plano. Operaciones y bases. Producto escalar de vectores. Ortogonalidad.

Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias entre puntos y rectas.

Lugares geométricos del plano. Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola: definición geométrica, elementos característicos y ecuación canónica. Método de completar cuadrados.

III. Funciones y gráficas

Funciones reales de variable real. Características básicas de las funciones elementales. Composición de funciones.

Conceptos intuitivos de límite y continuidad. Técnicas elementales de cálculo de límites. Discontinuidades. Límites y comportamiento asintótico de una función.

Introducción a la derivación. Reglas de derivación. Aplicaciones geométricas: recta tangente, puntos de tangente horizontal e intervalos de crecimiento de una función. Aplicaciones físicas: velocidad y aceleración.

Representación gráfica de funciones: dominio, intersección con los ejes, asíntotas, puntos de tangente horizontal, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

IV. Estadística y Probabilidad

Estadística descriptiva bidimensional. Representación gráfica: nube de puntos. Distribuciones marginales. Medias y desviaciones típicas marginales. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal.

Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media y varianza. Distribución binomial. Uso de tablas. Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos.

Variables aleatorias continuas. Función de distribución. Distribución normal típica. Uso de tablas. Tipificación de una variable normal. Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos.

Criterios de evaluación

1. Utilizar los números reales, sus notaciones, relaciones y procedimientos asociados para presentar e intercambiar información, resolver problemas, y valorar los resultados obtenidos de acuerdo con el enunciado.

2. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas.

3. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y manejar correctamente el método de Gauss.

4. Manejar sucesiones de números reales, el concepto intuitivo de límite y conocer la existencia del número e.

5. Manejar las funciones exponenciales y logarítmicas, incluidas las de base e, y resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

6. Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera y sus identidades notables para resolver problemas geométricos en los que intervengan ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos.

7. Conocer y operar correctamente con los números complejos (en sus formas binómica, trigonométrica y polar), utilizarlos en la resolución de problemas geométricos y ecuaciones algebraicas sencillas.

8. Utilizar el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental y resolver problemas afines y métricos.

9. Obtener, a partir de su definición como lugar geométrico, la ecuación de una cónica e identificar sus elementos característicos.

10. Manejar el cálculo elemental de límites y derivadas como herramienta para identificar y representar gráficamente funciones elementales a partir de sus características globales y locales (dominio, continuidad, simetrías, puntos de corte, asíntotas, comportamiento en el infinito, intervalos de crecimiento y puntos de tangente horizontal), y relacionarlas con fenómenos económicos, sociales, científicos y tecnológicos que se ajusten a ellas.

11. Representar mediante una nube de puntos una distribución bidimensional, interpretar el grado de correlación existente entre las variables y obtener las rectas de regresión para realizar predicciones estadísticas.

12. Estudiar situaciones reales en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria discreta para tomar decisiones, y utilizar las propiedades de una distribución binomial, cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, para el cálculo de probabilidades.

13. Estudiar situaciones reales en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria continua para tomar decisiones, y utilizar las propiedades de una distribución normal, cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, para el cálculo de probabilidades.

Matemáticas II

Contenidos

I. Análisis

Límite de una sucesión. Cálculo de límites. El número e.

Límite de una función en un punto. Propiedades. Técnicas de cálculo de límites (cancelación, racionalización). Límites laterales. Límites en el infinito. Comportamiento asintótico de una función.

Funciones continuas. Propiedades. Continuidad y función compuesta. Determinación de discontinuidades. Continuidad en intervalos cerrados.

Derivada de una función en un punto. Funciones derivables. Propiedades. Cálculo de derivadas. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Regla de l’Hôpital.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos en un intervalo. Representación gráfica de funciones. Optimización.

Primitiva de una función. Reglas básicas de integración. Cálculo de integrales indefinidas sencillas: inmediatas, por cambio de variable, de funciones racionales y por partes.

Sumas de Riemann e integral definida. Propiedades. Regla de Barrow. Teorema del valor medio para integrales. Áreas de regiones planas.

II. Algebra

Sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones elementales y reducción Gaussiana. Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matrices de números reales. Operaciones con matrices. Matrices inversibles.

Combinación lineal de filas de una matriz. Obtención por el método de Gauss del rango de una matriz y de la matriz inversa.

Determinantes. Cálculo de determinantes de órdenes dos y tres mediante la regla de Sarrus. Desarrollo por una fila o columna. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes mediante operaciones elementales.

Utilización de los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

III. Geometría

Vectores en el espacio tridimensional. Operaciones y bases. Producto escalar. Ortogonalidad y bases ortonormales. Producto vectorial. Producto mixto.

Sistemas de referencia. Coordenadas de puntos. Obtención e interpretación de las ecuaciones de rectas y planos a partir de sistemas de referencia ortonormales.

Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.

Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Esfera y elipsoide. Utilización de programas informáticos como apoyo para introducir superficies comunes.

Criterios de evaluación

1. Calcular límites, derivadas e integrales.

2. Utilizar el concepto y el cálculo de límites y derivadas para analizar las propiedades, globales y locales, de una función expresada en forma explícita, representarla gráficamente y extraer información para el estudio de fenómenos relacionados con distintas disciplinas.

3. Utilizar el cálculo de derivadas para la resolución de problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter geométrico, físico o tecnológico.

4. Utilizar el cálculo de integrales para obtener las áreas de regiones limitadas por rectas y curvas representables por los alumnos, y para estudiar conceptos de las ciencias naturales y la tecnología.

5. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

6. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones.

7. Obtener el rango y la inversa de una matriz mediante el método de Gauss. Discutir y resolver, en términos matriciales, sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.

8. Manejar determinantes de ordenes dos y tres, y usarlos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para calcular la inversa de una matriz.

9. Transcribir problemas reales a lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas adecuadas para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, a las situaciones obtenidas.

10. Utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico-tecnológico, e interpretar las soluciones de acuerdo a los enunciados.

11. Identificar, calcular e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio tridimensional para resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos y utilizarlas, junto con los distintos productos entre vectores, expresados en bases ortonormales, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes.